هندسه فرکتال
واژه فرکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس –به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته و خرد شده است- در سال 1975 اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. برخالها (فرکتال، فراکتال fractals)، ساختارهایی اند که خود را در مقیاس کوچکتر تکرار میکنند. واژه برخال از دو پاره برَخ و ال ساخته شده است.
برخ واژه فارسی برای کسر (fraction) است و پسوند ال پسوندی به معنای،مرتبط با، است (مانند چنگال: مرتبط یا همشکل با چنگ پوشالم وط به پوشاندن، سَنگال و جز اینها).
نشان دادن این ساختارها در قالب نگارین (گرافیکی) گاه اشکال نامنظم، نغز و پیچیدهای را با فرمولهای سادهی ریاضی تولید میکند. برخالها از سال ۱۹۸۰ به بعد مورد نگرش واقع شده و هندسه نوینی به نام هندسه برخالی را پدید آوردهاند فرکتالها شکلهایی هستند که بر خلاف شکل های هندسه اقلیدسی به هیچوجه منظم نیستند. این شکلها اولا سرتاسر نا منظم اند, ثانیا میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.
با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت مشخص می شود که هندسهء اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهرا بی نظم طبیعی نیست. میزان بی نظمی در همه مقیاسها یکسان است.
مندل بروت در سال 1975 اعلام کرد که ابرها به صورت کره نیستند, کوهها همانند مخروط نمی باشند, سواحل دریا دایره شکل نیستند , پوست درختان صاف نیست وصاعفه به صورت خط منظم حرکت نمی کند. جسم فرکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می شود به تعبیر دیگر خود متشابه است. وقتی به یک جسم فرکتال نزدیک می شویم میبینیم تکه های کوچکی از آن که از دور هچون دانه های بی شکلی به نظر می رسید , به صورت شکل مشخصی در می آید که شکلش کم و بیش همان شکلی است که از دور دیده میشود.
در طبیعت نمونه های فراوانی از فرکتالها دیده می شود. درختان, کوهها, رودها, لبه سواحل دریا, سرخس ها, گل کلم ها اجسام فرکتال هستند. بخش کوچکی از درخت که شاخه باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها, گل کلم ها, صاعقه وسایر اجسام فرکتال عنوان نمود.
كوهها نمونه هايي از فركتال هاي طبيعي
نمونه اي از گسترش شهرها به صورت فركتال
نمونه هايي از ساخته هاي فركتالي انسان
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز به صورت فرکتال می باشند. تراشههای سیلیکان, منحنی نوسانات بازار بورس, رشد وگسترش شهرها, مثلث سرپینسکی و...
ويژگيهاي فركتال
اشكال اقليدسي با استفاده از توابع اشيا و اشكال فركتال با فرآيندهاي پويا توليد ميشوند . فرآيندهاي پويا ، فرآيندهايي هستند كه داراي حافظه ميباشند و رفتار آنها به گذشته بستگي دارد . علاوه بر آن اشياي فركتال داراي خاصيت خود مانندي هستند . طول اين اشياء بينهايت استكه در يك فضاي محدود محصور شدهاند .مجموعههاي فركتال از زيرمجموعههايي تشكيل شده اند كه اين زيرمجموعهها شامل مجموعههاي بزرگتر هستند . مجدداً اين مجموعهها از زيرمجموعههاي كوچكتري تشكيل شدهاند . اين زير مجموعهها نيز شبيه مجموعههاي بزرگتر هستند . چنين ساختارهايي داراي ظرفيت اطلاعاتي زياد هستند در صورتيكه ظرفيت اطلاعاتي اشياء اقليدسي بسيار محدود و شامل اطلاعات تكراري است .
مجموعه هاي فركتال قابليت توصيف رياضي بسياري از اشكال پيچيده و به ظاهر نامنظم در طبيعت را دارند ، به همين جهت مي توان هندسه فركتال را بيان رياضي از معماري طبيعت دانست.
مكانيزم توليد اشياء فركتال
سيستم ها را از لحاظ رفتار نهايي و مجموعه حديشان ميتوان به 4 دسته تقسيم بندي نمود :
1. سيستم هايي كه داراي نقطه تعادل هستند . مجموعه حدي اين سيستم ها در فضاي حالت تشكيل يك نقطه را مي دهند .
2. سيستمهاي نوساني ، مجموعه حدي اين سيستم ها در فضاي حالت تشكيل يك منحني بسته را مي دهند .
3. سيستم هاي شبه نوساني ، مجموعه حدي چنين سيستم هايي در يك محدوده حلقوي شكل از فضاي حالت محصور شده و به طور يكنواخت در اين محدوده توزيع شده اند و تشكيل يك چنبره را در فضاي حالت مي دهند .
4. سيستم هاي آشوبگونه : مجموعه حدي اين سيستم ها داراي يك شكل هندسي ساده
5. ( نقطه ، منحني بسته و چنبره ) نيست و تشكيل يك شي فركتال را مي دهند .
مسيرهاي حالت سيستم هاي آشوبگونه در فضاي حالت داراي طول بي نهايت هستند كه در يك فضاي محدود محصور شده اند و اين از اعجاز سيستم هاي آشوبگونه است . با توجه به ويژگي مجموعه حدي سيستم ها در فضاي حالت ، ظرفيت اطلاعاتي سيستم هايي كه داراي نقطه تعادل هستند ، محدود و منحصر به نقاط تعادل مي شود .
هر فرآيند تكراري و پويا باعث ايجاد ساختارهاي پيچيده فركتال نمي شود ، مكانيزم توليد چنين ساختارهايي ، پويايي آشوب است در حقيقت فركتال تصوير رياضي از آشوب است .
دانه برفي Kock
يك مثلث متساوي الاضلاع را با طول L در نظر بگيريد . هر ضلع اين مثلث را به سه قسمت مساوي تقسيم كنيد و قسمتهاي وسط را حذف كنيد . سپس قسمتهاي برداشته شده را با دو پاره خط ، هر يك به طول جايگزين كنيد . با تكرار اين فرآيند براي هر قطعه ، دانه برفي Kock در همه جا پيوسته است اما در هيچ جا مشتق پذير نيست . اين منحني داراي محيط بي نهايت با سطح محدود است . نكته قابل توجه اين دانه برفي با استفاده از يك فرآيند تكراري و پويا توليد شده است درصورتي كه اشياء اقليدسي با استفاده از فرآيندهاي ايستا توليد ميشوند
مثلث Serpinski
اين مثلث جزء يكي از معروفترين اشياء فركتال مي باشد . اين شي شامل مثلث بزرگي است كه در داخل آن بي نهايت مثلث كوچك وجود دارد . اين مثلث را به سادگي مي توان توليد كرد . يك مثلث متساوي الاضلاع تو پر را در نظر بگيريد چنانچه وسط هر ضلع و مثلث وسط را حذف كنيم و اين فرآيند را براي مثلث هاي باقيمانده تكرار كنيم ، در نهايت شكلي كه حاصل مي شود مثلث Serpinski ناميده مي شود و در هر مرحله شكلي به وجود مي آيد كه جزئي از شكل مرحله بعدي است ، لذا شكل خاصيت خود همانندي دارد . نكته قابل توجه اينكه مثلث Serpinski داراي سطح صفر است زيرا ميزان سطحي كه از شكل مثلث اوليه برداشت شده است برابر با سطح اوليه مثلث مي باشد . در اين شكل خاصيت خود همانندي به خوبي ديده ميشود .
